工学 -> CFD公式
1.(前提)数値解析
Green関数
$ Lu(x)=f(x)に対し、$ LG(x,ω)=δ(x-ω)
Laplace変換・逆変換
$ \int_{0}^{∞} f(t)e^{-st}dt,\ \frac{1}{2πj}\int_{c-j∞}^{c+j∞}F(s)e^{st}ds
Crank-Nicolson法
$ \frac{T^{n+1}-T^n}{Δt}=\frac{α}{2}(\frac{T_{i+1}^{n+1}-2T_i^{n+1}+T_{i-1}^{n+1}}{Δx^2}+\frac{T_{i+1}^n-2T_i^{n+1}+T_{i-1}^n}{Δx^2})
Von Neumannの安定性解析
離散Fourier変換により$ φ_i^n=V^ne^{Iikx}が得られたとき、
$ G=\frac{V^{n+1}}{V^n}\leq1で安定
境界条件
$ φ=f (Dirichlet条件)
$ \frac{∂φ}{∂n}=f (Neumann条件)
$ \frac{∂φ}{∂n}+kφ=f (Robin条件)
離散化手法
差分法(FDM): 微分演算子を差分商で置換
有限要素法(FEM): 節点iでの要素平均$ \left< f\right>_{Ω_i}=\frac{1}{Ω_i}\int_{Ω_i}fdΩ
有限体積法(FVM): 重みNiの節点平均$ \left< f\right>_i=\frac{\int N_ifdΩ}{\int N_idΩ}
4次Runge-Kutta法
$ k_1=f(t_n,y_n)
$ k_2=f(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}k_1)
$ k_3=f(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}k_2)
$ k_4=f(t_n+h,y_n+hk_3)
2.流体の定式化
(確認)Navier-Stokes方程式・連続式・エネルギー方程式
$ \frac{1}{\rho}\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot\textbf{u}=0
$ \frac{∂\textbf{u}}{∂t}+(\textbf{u}\cdot\nabla)\textbf{u}=-\frac{1}{ρ}\nabla p+ν\Delta\textbf{u}+\textbf{S}_M
$ \frac{\partial i}{\partial t}+\nabla\cdot(i\textbf{u})=-\frac{p}{\rho}\nabla\cdot u+k\Delta T+\Phi+S_i
一般輸送方程式
$ \frac{\partial\phi}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\phi\textbf{u})=\Gamma\Delta\phi+S_\phi
移流方程式, 拡散方程式, Burgers方程式
$ \frac{∂u}{∂t}+c\frac{∂u}{∂x}=0
$ \frac{∂u}{∂t}=ν\frac{∂^2u}{∂x^2}
$ \frac{∂u}{∂t}+u\frac{∂u}{∂x}=ν\frac{∂^2u}{∂x^2}
Hopf方程式
$ \frac{∂u}{∂t}+u\frac{∂u}{∂x}=0
KdV方程式(1985)
$ \frac{∂u}{∂t}+αu\frac{∂u}{∂x}+β\frac{∂^3u}{∂x^3}=0
3. 双曲形方程式の特性理論
Riemann不変量
特性方向に沿った常微分方程式$ \frac{du}{ds}=bの積分値における定数
$ u(s)-\int^{s}b(τ)dτ
システム方程式
高階偏微分方程式の書き換えの一般形$ Au_x+u_t=f
相似変換により標準形$ A\bar{u_x}+\bar{u_t}=\bar{f}に変換可能
d'Alembertの解
波動方程式にある初期条件を与えたときの解
$ u(x,t)=\frac{1}{2}[f(x+at)+f(x-at)]+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}g(s)ds
4.移流方程式
$ \frac{∂φ}{∂t}+u\frac{∂φ}{∂x}=0の解法
1次風上差分法
$ \frac{φ_i^{n+1}-φ_i^n}{⊿t}+uD_0φ_i^n=\frac{|u|⊿x}{2}D_+D_-φ_i^n
数値粘性: $ ν^*=|u|⊿x/2
Crank-Nicolson法
$ φ_i^{n+1}+\frac{u⊿t}{2}D_0φ_i^{n+1}=φ_i^n-\frac{u⊿t}{2}D_0φ_i^n
Lax-Wendroff法
$ φ_i^{n+1}=φ_i^n+u⊿tD_0φ_i^n+\frac{(u⊿t)^2}{2}D_+D_-φ_i^n
ただし、$ D_+=\frac{φ_{i+1}^n-φ_i^n}{⊿x}, D_-=\frac{φ_i^n-φ_{i-1}^n}{⊿x}, D_0=\frac{φ_{i+1}^n-φ_{i-1}^n}{2⊿x}
数値粘性: $ ν^*=u^2⊿t/2
Mac Cormack法
$ \tilde{φ_i}=φ_i^n+u⊿tD_+φ_i^n
$ φ_i^{n+1}=\frac{1}{2}(u_i^n+\tilde{u_i})-\frac{u⊿t}{2}(\tilde{u_i}-\tilde{u_{i-1}})
予測子$ \tilde{u_i}を消去するとLax-Wendroff法と一致
陽的3点スキームによる一般化
$ φ_i^{n+1}=φ_i^n-u⊿tD_0φ_i^n+\frac{α}{2}D_+D_-φ_i^n
α=0: FTCS, α=1: Lax-Friedrichs, α=|u⊿t|: 1次風上, α=(u⊿t)^2: Lax-Wendroff
Rankine-Hugoniot条件
双曲線方程式$ \frac{∂u}{∂t}+\frac{∂f(u)}{∂x}=0,\ \nabla\cdot w=0の弱形式
$ \int_0^t\int_{-∞}^{+∞}\nablaφ\cdot wdxdt+\int_{-∞}^{+∞}φ(x,0)g(x)dx=0の解における不連続面における
jump条件$ [w] \cdot n=0
Roeスキームの数値流束
$ \tilde{f_{i+1/2}^{Roe}}=\frac{1}{2}(f_i+f_{i+1})-\frac{1}{2}|a_{i+1/2}|⊿u_{i+1/2}
TVD条件
$ TV(u^{n+1})\leq TV(u^n)
ただし、$ TV(u)=\int\left|\frac{∂u}{∂x}\right|dxと定義
5.拡散方程式
$ \frac{∂φ}{∂t}=ν\frac{∂^2φ}{∂x^2}の解法
一般化台形公式
$ \frac{φ_i^{n+1}-φ_i^n}{⊿t}=νD_+D_-[(1-α)φ_i^n+αφ_i^{n+1}]
α=0: 前進Euler, α=1: 後退Euler, α=1/2: Crank-Nicolson
拡散数の制限を受けないCrank-Nicolson法で離散かするのが良い
6.定常移流拡散方程式
$ v\cdot\nablaφ=ν\nabla^2φの解法
QUICK
移流項の3次精度離散化 $ u\frac{∂φ}{∂x}=u\frac{\tilde{φ_r}-\tilde{φ_l}}{⊿x}
ただし、$ \tilde{φ_r}=\frac{φ_i+φ_{i+1}}{2}-\frac{⊿x^2}{8}\rm{CURV}(i),\ \tilde{φ_l}=\frac{φ_i+φ_{i-1}}{2}-\frac{⊿x^2}{8}\rm{CURV}(i-1)
$ \rm{CURV}(i)=D_+D_-φ_i
最適重み
移流項を$ u\frac{∂φ}{∂x}=\frac{u}{2⊿x}[(1-α)⊿_x^++(1+α)⊿_x^-]φ_i と重み付きで離散化したとき、
$ α=L\left(\frac{R_c}{2}\right)で厳密解と一致
7.非定常移流拡散方程式
安定条件
拡散数$ d=\frac{ν⊿t}{⊿x^2}
Courant数$ c=\frac{u⊿t}{⊿x}
cell Reynold数 $ R_e=\frac{u⊿x}{ν}=\frac{c}{d}において、
拡散方程式: $ d\leq1/2
移流方程式: $ c\leq1
定常移流拡散方程式: $ R_e\leq2
非定常移流拡散方程式: $ c^2\leq2d\leq1